kaoyan1basic 高等数学 第637题
📝 题目
## 第637题 (高等数学 - 选择题) 直线 $\displaystyle L: \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{1}$ 与平面 $\Pi: x-y+2 z+4=0$ 的夹角为 （A）$\pi$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． 638直线 $L$ 为 $\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ ，平面 $\Pi$ 为 $4 x-2 y+z-2=0$ ，则
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：直线$L$的方向向量$\vec{s}=(2,1,1)$，平面$\Pi$的法向量$\vec{n}=(1,-1,2)$。步骤2：计算$\vec{s}\cdot\vec{n}=2\times1+1\times(-1)+1\times2=3\neq0$，故直线与平面不平行也不垂直。步骤3：直线与平面的夹角$\theta$满足$\displaystyle \sin\theta=\frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{1}{2}$，得$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求直线方向向量和平面法向量
直线L: (x-2)/2 = (y-1)/1 = (z-3)/1，方向向量s=(2,1,1)；平面Π: x-y+2z+4=0，法向量n=(1,-1,2)。
提示：直线标准方程的分母对应方向向量分量；平面一般方程系数对应法向量分量。
步骤 2/4
目标：计算点积判断位置关系
计算s·n=2×1+1×(-1)+1×2=3≠0，故直线与平面不平行也不垂直。
公式：s·n = 2*1 + 1*(-1) + 1*2 = 3
提示：点积为零则垂直，否则不垂直。
步骤 3/4
目标：计算夹角正弦值
sinθ = |s·n|/(|s||n|) = 3/(√(2^2+1^2+1^2) * √(1^2+(-1)^2+2^2)) = 3/(√6 * √6) = 3/6 = 1/2。
公式：sinθ = |s·n|/(|s||n|)
提示：直线与平面夹角定义为直线与其在平面投影的锐角，正弦公式。
步骤 4/4
目标：得出夹角
由sinθ=1/2得θ=π/6。
提示：常见角的正弦值：sin(π/6)=1/2。
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