kaoyan1basic 高等数学 第653题
📝 题目
## 第653题 (高等数学 - 选择题) 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是 （A） $\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （B） $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （C） $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （D） $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：对于上半球面上侧，曲面在$yOz$平面上的投影区域为$D_{yz}: y^2+z^2 \leq R^2, z \geq 0$，且$x = \sqrt{R^2 - y^2 - z^2}$。 步骤2：计算各积分： (A) $\iint_{\Sigma} x^2 dy dz = \iint_{D_{yz}} (R^2 - y^2 - z^2) dy dz \neq 0$，但题目问不正确的结论，需验证。 (B) $\iint_{\Sigma} x dy dz = \iint_{D_{yz}} \sqrt{R^2 - y^2 - z^2} dy dz > 0$，不为0。 (C) $\iint_{\Sigma} y^2 dy dz = \iint_{D_{yz}} y^2 dy dz$，由对称性，$y$为奇函数，区域关于$y$轴对称，积分为0。 (D) $\iint_{\Sigma} y dy dz = \iint_{D_{yz}} y dy dz = 0$（奇函数对称性）。 步骤3：不正确的是(A)，因为$x^2$非负且积分区域非零，积分不为0。但选项标注有误，实际C正确，A不正确。 **难度**：★★☆☆☆