kaoyan1basic 高等数学 第654题
📝 题目
## 第654题 (高等数学 - 选择题) 设有曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，从 $x$ 轴正向看去为逆时针方向，则 $\oint_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ 等于 （A）$\sqrt{2} \pi a^{2}$ ． （B）$-\sqrt{2} \pi a^{2}$ ． （C）$-\sqrt{3} \pi a^{2}$ ． （D）$\sqrt{3} \pi a^{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：曲线$\Gamma$是球面与平面的交线，为圆。使用斯托克斯公式，将曲线积分转化为曲面积分：$\oint_{\Gamma} y dx + z dy + x dz = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} dS$，其中$\mathbf{F} = (y, z, x)$。 步骤2：旋度$\displaystyle \nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial x}{\partial y} - \frac{\partial z}{\partial z}, \frac{\partial y}{\partial z} - \frac{\partial x}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} \right) = (-1, -1, -1)$。 步骤3：取$S$为平面$x+y+z=0$上被球面截得的圆盘，法向量$\mathbf{n}$方向与曲线方向满足右手定则，从$x$轴正向看逆时针，对应法向量指向$z$轴正向一侧，即$\displaystyle \mathbf{n} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$。 步骤4：$\displaystyle \iint_{S} (-1,-1,-1) \cdot \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}} dS = -\sqrt{3} \iint_{S} dS = -\sqrt{3} \cdot \pi a^2$（圆盘半径$a$）。但注意方向：实际计算得$-\sqrt{3}\pi a^2$，选项为$-\sqrt{3}\pi a^2$对应C，但需检查符号。重新计算旋度：$\nabla \times \mathbf{F} = (-1,-1,-1)$，点乘得$-\sqrt{3}$，积分得$-\sqrt{3}\pi a^2$，故选C。 **难度**：★★★☆☆