kaoyan1basic 高等数学 第655题
📝 题目
## 第655题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y, z)=x^{2} y^{3}+3 y^{2} z^{3}$ 在点 $(0,1,1)$ 处方向导数的最大值为 （A）$\sqrt{107}$ ． （B）$\sqrt{117}$ ． （C） 117 ． （D） 107 ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：方向导数的最大值等于梯度的模。梯度$\displaystyle \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (2xy^3, 3x^2y^2 + 6yz^3, 9y^2z^2)$。 步骤2：在点$(0,1,1)$处，梯度为$(0, 0+6, 9) = (0,6,9)$。 步骤3：模为$\sqrt{0^2+6^2+9^2} = \sqrt{36+81} = \sqrt{117}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定方向导数的最大值与梯度的关系
方向导数的最大值等于梯度的模。
公式：max_{|l|=1} \frac{\partial f}{\partial l} = |\nabla f|
提示：记住方向导数最大值出现在梯度方向。
步骤 2/3
目标：计算梯度向量
计算偏导数：∂f/∂x = 2xy^3，∂f/∂y = 3x^2y^2 + 6yz^3，∂f/∂z = 9y^2z^2。在点(0,1,1)处，代入得梯度为(0, 0+6, 9) = (0,6,9)。
公式：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
提示：注意偏导数的计算要准确，特别是对y的偏导有两项。
步骤 3/3
目标：计算梯度的模
模为√(0^2+6^2+9^2) = √(36+81) = √117。
公式：|∇f| = √( (∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2 + (∂f/∂z)^2 )
提示：平方和开方，注意不要遗漏平方。
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