kaoyan1basic 高等数学 第656题
📝 题目
## 第656题 (线性代数 - 选择题) 函数 $\displaystyle f(x, y)=\arctan \frac{y}{x}$ 在点 $(1,0)$ 处的梯度向量为 （A）$-\boldsymbol{i}$ ． （B） $\boldsymbol{i}$ ． （C）$-j$ ． （D） $\boldsymbol{j}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：梯度$\displaystyle \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$，其中$\displaystyle f(x,y) = \arctan\frac{y}{x}$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1+(y/x)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1+(y/x)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2+y^2}$。 步骤3：在点$(1,0)$处，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 0$，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 1$，梯度为$(0,1) = \boldsymbol{j}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出梯度公式
梯度定义为 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)。
公式：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
提示：梯度是一个向量，其分量是偏导数。
步骤 2/5
目标：计算偏导数 ∂f/∂x
对 f(x,y)=arctan(y/x) 关于 x 求偏导，使用链式法则：∂f/∂x = 1/(1+(y/x)^2) * (-y/x^2) = -y/(x^2+y^2)。
公式：∂f/∂x = -y/(x^2+y^2)
提示：注意分母是 x^2+y^2，不要忘记负号。
步骤 3/5
目标：计算偏导数 ∂f/∂y
对 f(x,y)=arctan(y/x) 关于 y 求偏导：∂f/∂y = 1/(1+(y/x)^2) * (1/x) = x/(x^2+y^2)。
公式：∂f/∂y = x/(x^2+y^2)
提示：这里没有负号。
步骤 4/5
目标：代入点 (1,0) 求梯度分量
将 x=1, y=0 代入偏导数：∂f/∂x = -0/(1^2+0^2)=0，∂f/∂y = 1/(1^2+0^2)=1。
提示：代入时注意分母非零。
步骤 5/5
目标：写出梯度向量
梯度为 (0,1)，即 j 向量。
公式：∇f(1,0) = (0,1) = j
提示：j 是 y 轴方向的单位向量。
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