kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【强化篇】第14题（填空题） 14．设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$ ，整数 $n \geqslant 0$ ，则 $f^{(2 n+1)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$(-1)^n(2n)!$ **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x)=\arctan\frac{1+x}{1-x}$，求导得$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$。 步骤2：$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}$，积分得$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}+C$，由$\displaystyle f(0)=\arctan1=\frac\pi4$得$\displaystyle C=\frac\pi4$。 步骤3：$f^{(2n+1)}(0)$为$x^{2n+1}$系数乘以$(2n+1)!$，即$\displaystyle \frac{(-1)^n}{2n+1}\cdot(2n+1)!=(-1)^n(2n)!$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求导数 f'(x)
对 f(x) = arctan((1+x)/(1-x)) 求导，利用链式法则和导数公式 (arctan u)' = u'/(1+u^2)。计算得 f'(x) = 1/(1+x^2)。
公式：f'(x) = 1/(1+x^2)
提示：注意化简过程中 (1+x)/(1-x) 的导数计算，最终结果简洁。
步骤 2/4
目标：将 f'(x) 展开为幂级数
利用几何级数公式 1/(1+u) = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n u^n，令 u = x^2，得 f'(x) = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n}。
公式：1/(1+x^2) = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n}
提示：注意收敛区间 |x|<1。
步骤 3/4
目标：积分得到 f(x) 的幂级数展开
对 f'(x) 的级数逐项积分，得 f(x) = ∑_{n=0}^∞ [(-1)^n/(2n+1)] x^{2n+1} + C。由 f(0)=arctan(1)=π/4 确定常数 C=π/4。
公式：f(x) = π/4 + ∑_{n=0}^∞ [(-1)^n/(2n+1)] x^{2n+1}
提示：积分时注意常数项，利用初始条件确定。
步骤 4/4
目标：提取 f^{(2n+1)}(0)
在幂级数展开中，x^{2n+1} 项的系数为 (-1)^n/(2n+1)。根据泰勒公式，f^{(2n+1)}(0) = (2n+1)! × 系数 = (2n+1)! × [(-1)^n/(2n+1)] = (-1)^n (2n)!。
公式：f^{(2n+1)}(0) = (-1)^n (2n)!
提示：注意阶乘与系数的关系，避免漏掉 (2n+1)!。
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