kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（填空题） 15．曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{t} \sin 2 t, \\ y=\mathrm{e}^{t} \cos t\end{array}\right.$ 在对应 $t=0$ 处的点的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y=x-1$ **解析**：步骤1：$t=0$时，$x=0$，$y=1$。 步骤2：$\displaystyle \frac{dx}{dt}=e^t\sin2t+2e^t\cos2t$，$\displaystyle \frac{dy}{dt}=e^t\cos t-e^t\sin t$，$t=0$时$\displaystyle \frac{dx}{dt}=2$，$\displaystyle \frac{dy}{dt}=1$，故切线斜率$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}$。 步骤3：切线方程$\displaystyle y-1=\frac12(x-0)$，即$\displaystyle y=\frac12x+1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求切点坐标
将 t=0 代入参数方程：x=e^0 sin0=0，y=e^0 cos0=1，得切点 (0,1)。
提示：注意 sin0=0，cos0=1。
步骤 2/3
目标：求切线斜率
计算导数：dx/dt = e^t sin2t + 2e^t cos2t，dy/dt = e^t cost - e^t sint。代入 t=0：dx/dt = 0+2=2，dy/dt = 1-0=1。斜率 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 1/2。
公式：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
提示：注意复合函数求导，sin2t 导数为 2cos2t。
步骤 3/3
目标：写出切线方程
利用点斜式：y - 1 = (1/2)(x - 0)，整理得 y = (1/2)x + 1。
公式：y - y0 = k(x - x0)
提示：最终答案写为 y = x/2 + 1。
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