kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（选择题） 15．设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{1-x^{2}}$ ，则 $f^{(2 n)}(0)(n=1,2, \cdots)=(\quad)$ ． （A）$n!$ （B） 0 （C）$(2 n)!$ （D）$(2 n-1)!$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1-x^2}=-1+\frac{1}{1-x^2}$，展开为幂级数$\displaystyle \frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^\infty x^{2n}$，故$f(x)=-1+\sum_{n=0}^\infty x^{2n}$。 步骤2：$f^{(2n)}(0)$对应$x^{2n}$系数乘以$(2n)!$，系数为1，故$f^{(2n)}(0)=(2n)!$，但$n=1,2,\cdots$时，$f(x)$中$x^{2n}$项系数为1，故$f^{(2n)}(0)=(2n)!$，选项C正确。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将函数化为幂级数形式
将 $f(x)=\frac{x^2}{1-x^2}$ 改写为 $f(x)=-1+\frac{1}{1-x^2}$，然后利用几何级数展开 $\frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^\infty x^{2n}$，得到 $f(x)=-1+\sum_{n=0}^\infty x^{2n}$。
公式：\frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^\infty x^{2n}
提示：注意 $\frac{1}{1-x^2}$ 的展开式中只有偶次项。
步骤 2/2
目标：求 $f^{(2n)}(0)$
在幂级数展开中，$x^{2n}$ 项的系数为 $1$，而 $f^{(2n)}(0)$ 等于该系数乘以 $(2n)!$，因此 $f^{(2n)}(0)=1\cdot(2n)!=(2n)!$。
公式：f^{(k)}(0)=k!\cdot a_k
提示：注意 $n=1,2,\cdots$ 时，$x^{2n}$ 项确实存在且系数为1。
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