kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ ，则 $f^{(n)}(x)=($ ． （A）$\displaystyle (n-1)!\left[\frac{1}{(1+x)^{n}}-\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$ （B）$\displaystyle (n-1)!\left[\frac{1}{(1+x)^{n}}+\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$ （C）$\displaystyle (n-1)!\left[\frac{(-1)^{n-1}}{(1+x)^{n}}-\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$ （D）$\displaystyle (n-1)!\left[\frac{(-1)^{n-1}}{(1+x)^{n}}+\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)$。 步骤2：$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}$，$\displaystyle f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}+\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}=(n-1)!\left[\frac{(-1)^{n-1}}{(1+x)^n}+\frac{1}{(1-x)^n}\right]$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简函数表达式
利用对数性质，将 f(x) = ln((1+x)/(1-x)) 分解为 ln(1+x) - ln(1-x)。
公式：ln(a/b) = ln a - ln b
提示：注意定义域：x∈(-1,1)。
步骤 2/4
目标：求一阶导数
对 f(x) = ln(1+x) - ln(1-x) 求导，得 f'(x) = 1/(1+x) + 1/(1-x)。
公式：(ln u)' = u'/u
提示：注意负号：-ln(1-x) 的导数为 -(-1)/(1-x) = 1/(1-x)。
步骤 3/4
目标：求n阶导数
分别求 1/(1+x) 和 1/(1-x) 的n阶导数。1/(1+x) 的n阶导数为 (-1)^{n-1} (n-1)! / (1+x)^n；1/(1-x) 的n阶导数为 (n-1)! / (1-x)^n。相加得 f^{(n)}(x) = (n-1)! [(-1)^{n-1}/(1+x)^n + 1/(1-x)^n]。
公式：(1/(ax+b))^{(n)} = (-1)^n n! a^n / (ax+b)^{n+1} 的变形，此处 a=1, b=±1，注意指数调整。
提示：注意 1/(1-x) 的导数符号为正，因为 (1-x)^{-1} 的导数为 (1-x)^{-2}，没有负号。
步骤 4/4
目标：匹配选项
将结果与选项对比，发现与选项D一致。
提示：注意选项中的符号，特别是 (-1)^{n-1} 的位置。
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