kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（选择题） 16．设 $f(x)=|x| \sin ^{2} x$ ，则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的阶数 $n$ 的最大值为（）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$f(x)=|x|\sin^2x$，$\sin^2x\sim x^2$，故$f(x)\sim|x|^3$，在$x=0$附近$f(x)=O(|x|^3)$。 步骤2：$f(x)$可导性由$|x|^3$决定，$|x|^3$三阶可导，四阶导数不存在，故最高阶数$n=3$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析函数在x=0附近的行为
由于sin^2 x ~ x^2 (x→0)，所以f(x)=|x| sin^2 x ~ |x|·x^2 = |x|^3，即f(x)=O(|x|^3)。
公式：sin^2 x ~ x^2
提示：利用等价无穷小简化函数形式。
步骤 2/2
目标：判断f(x)的可导阶数
函数|x|^3在x=0处三阶可导，但四阶导数不存在（因为|x|^3的三阶导数为6|x|，在x=0处不可导）。因此f(x)的最高可导阶数为3。
公式：d^3/dx^3 |x|^3 = 6|x|
提示：绝对值函数|x|^k在x=0处的可导性：当k为整数时，k阶可导，k+1阶不可导。
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