kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设 $f(x)=3 x^{2}+x^{2}|x|$ ，使得 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为（ ）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
## 第5章 一元函数微分学的应用（一）——几何应用
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$f(x)=3x^2+x^2|x|$，$x^2|x|=|x|^3$，故$f(x)=3x^2+|x|^3$。 步骤2：$3x^2$任意阶可导，$|x|^3$三阶可导，四阶导数不存在，故最高阶数$n=3$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简函数表达式
将 $f(x)=3x^2+x^2|x|$ 化简为 $f(x)=3x^2+|x|^3$，因为 $x^2|x|=|x|^3$。
公式：$x^2|x| = |x|^3$
提示：注意 $|x|^3$ 是偶函数，且 $|x|^3 = x^3$ 当 $x\ge0$，$|x|^3 = -x^3$ 当 $x<0$。
步骤 2/3
目标：分析各部分的可导性
$3x^2$ 是多项式，任意阶可导。$|x|^3$ 在 $x=0$ 处：一阶导数 $3x|x|$ 连续，二阶导数 $6|x|$ 连续，三阶导数 $6\text{sgn}(x)$ 不连续，因此三阶可导，四阶导数不存在。
公式：$|x|^3$ 的导数：$f'(x)=3x|x|$，$f''(x)=6|x|$，$f'''(x)=6\text{sgn}(x)$（$x\neq0$），$f^{(4)}(x)$ 不存在。
提示：判断 $|x|^3$ 在 $x=0$ 处的可导性可用定义：$\lim_{x\to0}\frac{|x|^3-0}{x}=0$，一阶可导；类似可证二阶、三阶可导，但四阶导数不存在。
步骤 3/3
目标：确定最高阶数
由于 $3x^2$ 任意阶可导，$|x|^3$ 最高三阶可导，因此 $f(x)$ 的最高阶导数存在的阶数为 $n=3$。
提示：两个函数之和的可导阶数取较低者。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。