kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．函数 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{x}+\frac{\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\sqrt{2}$ **解析**：步骤1：$\displaystyle y=e^x+\frac{e^{-x}}{2}$，求导$\displaystyle y'=e^x-\frac{e^{-x}}{2}=0$，得$\displaystyle e^{2x}=\frac12$，$\displaystyle x=-\frac12\ln2$。 步骤2：代入得$\displaystyle y_{\min}=e^{-\frac12\ln2}+\frac12e^{\frac12\ln2}=\frac{1}{\sqrt2}+\frac12\sqrt2=\sqrt2$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求导数并令其为零，找到临界点
对函数 y = e^x + e^{-x}/2 求导，得 y' = e^x - e^{-x}/2。令 y' = 0，即 e^x - e^{-x}/2 = 0，解得 e^{2x} = 1/2，所以 x = -1/2 ln 2。
公式：y' = e^x - e^{-x}/2
提示：注意指数函数的导数公式：d/dx e^u = e^u * u'。
步骤 2/2
目标：将临界点代入原函数求最小值
将 x = -1/2 ln 2 代入原函数：y = e^{-1/2 ln 2} + e^{1/2 ln 2}/2 = 1/√2 + (1/2)√2 = √2。
公式：e^{a ln b} = b^a
提示：利用指数与对数的性质简化计算。
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