kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．若函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e} x$ 的极值点小于零，则常数 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a>1$ **解析**：步骤1：$f(x)=e^{-ax}-ex$，$f'(x)=-ae^{-ax}-e$，令$f'(x)=0$得$-ae^{-ax}=e$，即$\displaystyle e^{-ax}=-\frac{e}{a}$，需$\displaystyle -\frac{e}{a}>0$，故$a<0$。 步骤2：解得$\displaystyle x=-\frac1a\ln\left(-\frac{e}{a}\right)$，极值点小于0，即$\displaystyle -\frac1a\ln\left(-\frac{e}{a}\right)<0$，因$a<0$，$\displaystyle -\frac1a>0$，故$\displaystyle \ln\left(-\frac{e}{a}\right)<0$，得$\displaystyle -\frac{e}{a}<1$，即$a<-e$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求导数并找出极值点条件
对函数 f(x)=e^{-ax}-ex 求导，得 f'(x)=-ae^{-ax}-e。令 f'(x)=0，得到 -ae^{-ax}=e，即 e^{-ax}=-e/a。由于 e^{-ax}>0，所以 -e/a>0，因此 a<0。
公式：f'(x)=-ae^{-ax}-e
提示：注意指数函数值恒正，由此确定 a 的符号。
步骤 2/4
目标：解出极值点表达式
由 e^{-ax}=-e/a 两边取自然对数，得 -ax = ln(-e/a)，所以 x = -1/a * ln(-e/a)。
公式：x = -\frac{1}{a}\ln\left(-\frac{e}{a}\right)
提示：取对数时注意真数必须为正。
步骤 3/4
目标：根据极值点小于0建立不等式
极值点小于0，即 -1/a * ln(-e/a) < 0。由于 a<0，-1/a>0，所以不等式等价于 ln(-e/a) < 0，即 -e/a < 1。
公式：\ln\left(-\frac{e}{a}\right) < 0 \Rightarrow -\frac{e}{a} < 1
提示：注意 a 的符号影响不等号方向。
步骤 4/4
目标：解不等式得到 a 的范围
由 -e/a < 1，且 a<0，两边乘以 a（负数，不等号反向）得 -e > a，即 a < -e。
公式：a < -e
提示：乘以负数时不等号方向要改变。
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