kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos |x|-1, & x \leqslant 0, \\ x \ln x, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 ）． （A）可导点，极值点 （B）不可导点，极值点 （C）可导点，非极值点 （D）不可导点，非极值点
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$x\le0$时$f(x)=\cos|x|-1=\cos x-1$，$x>0$时$f(x)=x\ln x$。 步骤2：$\lim_{x\to0^-}f(x)=\cos0-1=0$，$\lim_{x\to0^+}f(x)=0$，$f(0)=0$，连续。左导数$f'_-(0)=-\sin0=0$，右导数$\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{x\ln x-0}{x}=\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$，故不可导。 步骤3：$x<0$时$f(x)=\cos x-1\le0$，$x>0$时$x\ln x<0$（$0
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断连续性
计算左右极限和函数值：左极限 lim_{x→0^-} f(x) = cos0 - 1 = 0，右极限 lim_{x→0^+} f(x) = 0，f(0)=0，故连续。
提示：注意|x|在x≤0时等于-x，但cos|x|=cos x。
步骤 2/3
目标：判断可导性
计算左右导数：左导数 f'_-(0) = -sin0 = 0；右导数 f'_+(0) = lim_{x→0^+} (x ln x)/x = lim_{x→0^+} ln x = -∞，故不可导。
公式：f'_-(0)=lim_{x→0^-} (f(x)-f(0))/x, f'_+(0)=lim_{x→0^+} (f(x)-f(0))/x
提示：右导数极限为无穷，说明导数不存在。
步骤 3/3
目标：判断极值性
x<0时，f(x)=cos x-1 ≤ 0；x>0且x<1时，x ln x < 0，故f(0)=0为极大值，是极值点。
提示：极值点需检查左右邻域函数值是否都小于或大于f(0)。
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