kaoyan1basic 高等数学 第4题

**答案**：$\displaystyle [ \frac{5}{3}, +\infty )$ **解析**： 步骤1：令 $g(x)=x^{2}+a x^{-3}$，由 $x>0$，求导得 $g'(x)=2x-3a x^{-4}$。 步骤2：令 $g'(x)=0$，得 $2x=3a x^{-4}$，即 $\displaystyle x^{5}=\frac{3a}{2}$，故 $\displaystyle x=\left(\frac{3a}{2}\right)^{1/5}$。 步骤3：$g(x)$ 在此点取最小值，最小值为 $\displaystyle g_{\min}=\left(\frac{3a}{2}\right)^{2/5}+a\left(\frac{3a}{2}\right)^{-3/5}=\left(\frac{3a}{2}\right)^{2/5}+a\left(\frac{2}{3a}\right)^{3/5}=\left(\frac{3a}{2}\right)^{2/5}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3/5}a^{2/5}=a^{2/5}\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{2/5}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3/5}\right]$。 步骤4：由恒成立条件 $\displaystyle g_{\min}\geqslant\frac{10}{3}$，计算得 $a^{2/5}\geqslant 2$，即 $a\geqslant 2^{5/2}=4\sqrt{2}$，但需验证。更简便方法：由均值不等式，$\displaystyle x^{2}+a x^{-3}=x^{2}+\frac{a}{x^{3}}\geqslant 2\sqrt{x^{2}\cdot\frac{a}{x^{3}}}=2\sqrt{\frac{a}{x}}$，不直接。正确解法：设 $t=x^{5}$，则 $g(x)=t^{2/5}+a t^{-3/5}$，求导得最小值条件 $\displaystyle t=\frac{3a}{2}$，代入得 $\displaystyle g_{\min}=\frac{5}{3}\left(\frac{3a}{2}\right)^{2/5}$，令其 $\displaystyle \geqslant\frac{10}{3}$，得 $\displaystyle \left(\frac{3a}{2}\right)^{2/5}\geqslant 2$，即 $\displaystyle \frac{3a}{2}\geqslant 2^{5/2}=4\sqrt{2}$，故 $\displaystyle a\geqslant \frac{8\sqrt{2}}{3}$。 **难度**：★★★☆☆