kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设方程 $\displaystyle \frac{\tan x}{x}=k$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 内有实根，则常数 $k$ 的取值范围为（）。 （A） $\displaystyle 0
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：令$\displaystyle f(x)=\frac{\tan x}{x}$，$x\in(0,\pi/4)$，$\displaystyle f'(x)=\frac{x\sec^2 x-\tan x}{x^2}=\frac{x-\sin x\cos x}{x^2\cos^2 x}>0$，故$f(x)$严格递增。 步骤2：$\lim_{x\to0^+}f(x)=1$，$\displaystyle f(\pi/4)=\frac{1}{\pi/4}=\frac{4}{\pi}$。方程有实根当且仅当$k\in(1,4/\pi)$，但选项D为$\displaystyle \frac{4}{\pi}-1
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造函数并分析单调性
令 f(x) = tan x / x, x ∈ (0, π/4)。求导得 f'(x) = (x sec^2 x - tan x) / x^2 = (x - sin x cos x) / (x^2 cos^2 x)。由于在 (0, π/4) 内，x > sin x cos x（因为 sin x cos x = (1/2) sin 2x < x），故 f'(x) > 0，f(x) 严格递增。
公式：f'(x) = (x - sin x cos x) / (x^2 cos^2 x)
提示：利用导数判断单调性，注意分子符号的判定。
步骤 2/3
目标：计算端点极限和函数值
计算 lim_{x→0^+} f(x) = 1（利用重要极限 lim_{x→0} tan x / x = 1）。计算 f(π/4) = tan(π/4) / (π/4) = 1 / (π/4) = 4/π。
公式：lim_{x→0^+} tan x / x = 1, f(π/4) = 4/π
提示：注意极限的准确计算。
步骤 3/3
目标：确定方程有实根的k的范围
由于 f(x) 在 (0, π/4) 内严格递增且连续，值域为 (1, 4/π)。方程 tan x / x = k 有实根当且仅当 k ∈ (1, 4/π)。
公式：k ∈ (1, 4/π)
提示：利用连续函数的介值定理。
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