kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【基础篇】第18题（解答题） 18．设 $0 \leqslant x \leqslant 1, p>1$ ，证明 $\displaystyle \frac{1}{2^{p-1}} \leqslant x^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 1$ ．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：令$f(x)=x^p+(1-x)^p$，$x\in[0,1]$，$f'(x)=p x^{p-1}-p(1-x)^{p-1}=p[x^{p-1}-(1-x)^{p-1}]$，驻点$x=1/2$。 步骤2：$f(1/2)=2\cdot(1/2)^p=2^{1-p}$，$f(0)=f(1)=1$。由$p>1$，$2^{1-p}<1$，且$f(x)$在$[0,1]$上先减后增，故最小值$2^{1-p}$，最大值$1$，即$\displaystyle \frac{1}{2^{p-1}}\leq x^p+(1-x)^p\leq1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造函数并求导
令 f(x)=x^p+(1-x)^p，x∈[0,1]，求导得 f'(x)=p x^{p-1} - p(1-x)^{p-1} = p[x^{p-1} - (1-x)^{p-1}]。
公式：f'(x)=p[x^{p-1}-(1-x)^{p-1}]
提示：注意复合函数求导，对(1-x)^p求导时需乘以-1。
步骤 2/4
目标：求驻点并判断单调性
令 f'(x)=0，得 x^{p-1}=(1-x)^{p-1}，由于 p>1，解得 x=1/2。当 x<1/2 时，x^{p-1}<(1-x)^{p-1}，f'(x)<0；当 x>1/2 时，f'(x)>0。因此 f(x) 在 [0,1/2] 递减，在 [1/2,1] 递增。
提示：利用指数函数的单调性比较大小。
步骤 3/4
目标：计算端点及驻点函数值
计算 f(0)=0^p+(1-0)^p=1，f(1)=1^p+0^p=1，f(1/2)=(1/2)^p+(1/2)^p=2*(1/2)^p=2^{1-p}。
公式：f(1/2)=2^{1-p}
提示：注意 2^{1-p}=1/2^{p-1}。
步骤 4/4
目标：比较最值得出不等式
由于 p>1，2^{1-p}<1，且 f(x) 在 [0,1] 上先减后增，故最小值在 x=1/2 处取得，为 2^{1-p}；最大值在端点处取得，为 1。因此 2^{1-p} ≤ f(x) ≤ 1，即 1/2^{p-1} ≤ x^p+(1-x)^p ≤ 1。
提示：注意将 2^{1-p} 改写为 1/2^{p-1} 以符合题目形式。
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