kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【强化篇】第18题（解答题） 18．已知方程 $\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}=k$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 内有实根，求常数 $k$ 的取值范围．
💡 答案解析
**答案**：$k\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$？需具体计算 **解析**： 步骤1：令$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}$，$x<0$。化简$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=\frac{1}{2}$（洛必达），$\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$（因$e^x\to0$，$1/x\to0$）。$f'(x)$符号？在$(-\infty,0)$内$f(x)$单调？计算$\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{e^x}{(e^x-1)^2}$，可证$f'(x)<0$，故$f(x)$递减，值域为$(0,1/2)$。故$k\in(0,1/2)$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造函数并化简
令 f(x) = 1/x - 1/(e^x - 1)，x < 0。通分得 f(x) = (e^x - 1 - x) / [x(e^x - 1)]。
公式：f(x) = \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}
提示：注意定义域 x<0，且 x≠0，e^x-1≠0，在 x<0 时 e^x-1<0，分母不为零。
步骤 2/4
目标：求函数在区间端点的极限
计算 lim_{x→0^-} f(x) 和 lim_{x→-∞} f(x)。
对于 x→0^-，使用洛必达法则：lim_{x→0} (e^x - 1 - x)/[x(e^x - 1)] = lim (e^x - 1)/(e^x - 1 + x e^x) = lim e^x/(e^x + e^x + x e^x) = 1/2。
对于 x→-∞，e^x→0，1/x→0，故 f(x)→0。
公式：\lim_{x\to 0^-} f(x) = \frac{1}{2}, \quad \lim_{x\to -\infty} f(x) = 0
提示：洛必达法则使用时注意分子分母分别求导，且验证条件。
步骤 3/4
目标：判断函数单调性
求导 f'(x) = -1/x^2 + e^x/(e^x-1)^2。需证明 f'(x) < 0 在 (-∞,0) 上成立。
考虑 g(x) = e^x/(e^x-1)^2 - 1/x^2，通分或利用不等式。可证当 x<0 时，e^x/(e^x-1)^2 < 1/x^2，故 f'(x)<0。
公式：f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{e^x}{(e^x-1)^2}
提示：单调性证明也可通过分析函数差值或利用已知不等式。
步骤 4/4
目标：确定值域并得出 k 的范围
由于 f(x) 在 (-∞,0) 上单调递减，且极限值分别为 0 和 1/2，故值域为 (0, 1/2)。方程 f(x)=k 有实根等价于 k 属于值域，即 k ∈ (0, 1/2)。
公式：k \in (0, \frac{1}{2})
提示：注意开区间，因为端点值无法取到（x→-∞ 时 f→0 但达不到，x→0^- 时 f→1/2 但达不到）。
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