kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【基础篇】第19题（解答题） 19．对于 $k$ 的不同取值情况，确定方程 $x^{3}-3 x+k=0$ 实根的个数，并证明你的结论．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：令$f(x)=x^3-3x$，$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$，驻点$x=\pm1$。$f(-1)=2$为极大值，$f(1)=-2$为极小值。 步骤2：方程$f(x)=-k$实根个数：当$-k>2$即$k<-2$时，1个实根；当$-k=2$即$k=-2$时，2个实根（重根）；当$-2<-k<2$即$-2
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造函数并求导，找出极值点
令 $f(x)=x^3-3x$，则 $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$，令 $f'(x)=0$ 得驻点 $x=\pm1$。计算 $f(-1)=2$ 为极大值，$f(1)=-2$ 为极小值。
公式：f'(x)=3x^2-3
提示：注意导数为零的点是可能的极值点，需进一步判断。
步骤 2/3
目标：将方程转化为函数值等于常数的问题
原方程 $x^3-3x+k=0$ 可化为 $x^3-3x=-k$，即 $f(x)=-k$。因此，方程实根个数等于直线 $y=-k$ 与曲线 $y=f(x)$ 的交点个数。
公式：f(x) = -k
提示：利用函数图像分析交点个数。
步骤 3/3
目标：根据极值讨论不同k值下的实根个数
由 $f(x)$ 的极大值2和极小值-2，分情况讨论：
- 当 $-k > 2$ 即 $k < -2$ 时，直线在极大值上方，有1个交点；
- 当 $-k = 2$ 即 $k = -2$ 时，直线经过极大值点，有2个交点（其中一个是重根）；
- 当 $-2 < -k < 2$ 即 $-2 < k < 2$ 时，直线在极大值与极小值之间，有3个交点；
- 当 $-k = -2$ 即 $k = 2$ 时，直线经过极小值点，有2个交点；
- 当 $-k < -2$ 即 $k > 2$ 时，直线在极小值下方，有1个交点。
公式：无
提示：注意边界情况对应重根，需单独说明。
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