kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（选择题） 19．若函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x \mathrm{e}^{-x}-a}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内处处连续，则常数 $a$ 的取值范围为（）． （A）$a<0$ （B）$a>\mathrm{e}^{-1}$ （C）$a<\mathrm{e}^{-1}$ （D） $0
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：函数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x e^{-x}-a}$处处连续，即分母$g(x)=x e^{-x}-a$在$(-\infty,+\infty)$内无零点。 步骤2：$g'(x)=e^{-x}-x e^{-x}=e^{-x}(1-x)$，驻点$x=1$，$g(1)=e^{-1}-a$为最大值。$g(x)$无零点当且仅当最大值小于0，即$e^{-1}-a<0$，得$a>e^{-1}$。但选项B为$a>e^{-1}$，C为$a
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定函数连续的条件
函数 f(x)=1/(x e^{-x}-a) 在 (-∞,+∞) 内处处连续，等价于分母 g(x)=x e^{-x}-a 在 (-∞,+∞) 内无零点。
提示：分式函数连续的条件是分母不为零。
步骤 2/3
目标：分析分母函数 g(x) 的性质
求导得 g'(x)=e^{-x}-x e^{-x}=e^{-x}(1-x)。令 g'(x)=0 得驻点 x=1。当 x<1 时 g'(x)>0，当 x>1 时 g'(x)<0，故 g(x) 在 x=1 处取得最大值 g(1)=e^{-1}-a。
公式：g'(x)=e^{-x}(1-x)
提示：注意导数符号变化判断极值。
步骤 3/3
目标：根据无零点条件求 a 的范围
g(x) 无零点当且仅当最大值小于0，即 e^{-1}-a < 0，解得 a > e^{-1}。
公式：e^{-1}-a < 0 ⇒ a > e^{-1}
提示：最大值小于0则函数恒负，无零点。
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