kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【基础篇】第20题（解答题） 20．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导（ $a>0$ ），证明：在 $(a, b)$ 内
$$ 2 x[f(b)-f(a)]=\left(b^{2}-a^{2}\right) f^{\prime}(x) $$
至少有一个实根．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：令$F(x)=x^2[f(b)-f(a)]-(b^2-a^2)f(x)$，则$F(a)=a^2[f(b)-f(a)]-(b^2-a^2)f(a)=a^2 f(b)-b^2 f(a)$，$F(b)=b^2[f(b)-f(a)]-(b^2-a^2)f(b)=a^2 f(b)-b^2 f(a)$，故$F(a)=F(b)$。 步骤2：由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使$F'(\xi)=0$，即$2\xi[f(b)-f(a)]-(b^2-a^2)f'(\xi)=0$，整理得$2\xi[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(\xi)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造辅助函数并验证端点值相等
令 F(x) = x^2[f(b)-f(a)] - (b^2-a^2)f(x)，计算 F(a) 和 F(b)。F(a)=a^2[f(b)-f(a)]-(b^2-a^2)f(a)=a^2 f(b)-b^2 f(a)，F(b)=b^2[f(b)-f(a)]-(b^2-a^2)f(b)=a^2 f(b)-b^2 f(a)，故 F(a)=F(b)。
公式：F(x)=x^2[f(b)-f(a)]-(b^2-a^2)f(x)
提示：构造辅助函数时，通常将待证等式移项，令一边为0，再寻找原函数。
步骤 2/3
目标：应用罗尔定理得到导数零点
由于 f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，则 F(x) 也在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 F(a)=F(b)。由罗尔定理，存在 ξ∈(a,b) 使得 F'(ξ)=0。
公式：罗尔定理：若 F(x) 在 [a,b] 连续，在 (a,b) 可导，且 F(a)=F(b)，则存在 ξ∈(a,b) 使 F'(ξ)=0。
提示：注意验证罗尔定理的三个条件：闭区间连续、开区间可导、端点值相等。
步骤 3/3
目标：整理得到待证等式
计算 F'(x)=2x[f(b)-f(a)]-(b^2-a^2)f'(x)，令 x=ξ 得 2ξ[f(b)-f(a)]-(b^2-a^2)f'(ξ)=0，即 2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(ξ)。因此原方程在 (a,b) 内至少有一个实根。
公式：F'(x)=2x[f(b)-f(a)]-(b^2-a^2)f'(x)
提示：求导时注意常数项求导为0，f(x) 的导数为 f'(x)。
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