kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（选择题） 20．设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)>0, f(0)=1$ ，则当 $x \in(0,1)$ 时，有 $(\quad)$ ． （B）$f(x)>\mathrm{e}^{f(x)-1}$ （A）$f(x)<\mathrm{e}^{f(x)-1}$ （D）$f(x)>\mathrm{e}^{f(x)+1}$ （C）$f(x)<\mathrm{e}^{-f(x)+1}$ （D）$f(x)>\mathrm{e}^{f(x)+1}$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：由$f'(x)>0$知$f(x)$严格递增，且$f(0)=1$，故$x\in(0,1)$时$f(x)>1$。 步骤2：考虑函数$g(x)=\ln f(x)-(f(x)-1)$，$\displaystyle g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}-f'(x)=f'(x)\left(\frac{1}{f(x)}-1\right)<0$（因$f(x)>1$），故$g(x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用单调性确定f(x)的范围
由f'(x)>0知f(x)在[0,1]上严格递增，且f(0)=1，故当x∈(0,1)时，f(x)>1。
公式：f'(x)>0 ⇒ f(x)严格递增
提示：注意f(0)=1是已知条件。
步骤 2/3
目标：构造函数并求导判断单调性
考虑函数g(x)=ln f(x) - (f(x)-1)，求导得g'(x)=f'(x)/f(x) - f'(x)=f'(x)(1/f(x)-1)。由于f(x)>1，故1/f(x)-1<0，又f'(x)>0，所以g'(x)<0，因此g(x)在(0,1)上单调递减。
公式：g'(x)=f'(x)(1/f(x)-1)
提示：构造函数时通常将不等式转化为函数值比较。
步骤 3/3
目标：利用端点值比较得到不等式
由g(x)单调递减，且g(0)=ln f(0) - (f(0)-1)=ln1 - 0=0，故当x∈(0,1)时，g(x)
公式：ln f(x) < f(x)-1 ⇒ f(x) < e^{f(x)-1}
提示：取指数时注意指数函数单调递增。
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