kaoyan1basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 【基础篇】第21题（选择题） 21．设 $\displaystyle a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1}=0\left(a_{i}\right.$ 为实数，$\left.i=0,1,2, \cdots, n\right)$ ，则在区间 $(0,1)$ 内，方程 $a_{0}+a_{1} x+\cdots+ a_{n} x^{n}=0($ ）． （A）没有实根 （B）至少有一个实根 （C）仅有一个实根 （D）是否有实根不能判定
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：令$\displaystyle F(x)=a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，则$F(0)=0$，且$\displaystyle F(1)=a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+\frac{a_n}{n+1}=0$。 步骤2：由罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$使得$F'(\xi)=0$，即$a_0+a_1\xi+\cdots+a_n\xi^n=0$，故方程在$(0,1)$内至少有一个实根。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造辅助函数
令 F(x) = a0 x + (a1/2) x^2 + ... + (an/(n+1)) x^{n+1}，则 F(0)=0，且由已知条件，F(1)=a0 + a1/2 + ... + an/(n+1)=0。
公式：F(x)=∑_{i=0}^n (a_i/(i+1)) x^{i+1}
提示：注意原方程系数与已知条件的关系，通过积分或观察构造辅助函数。
步骤 2/3
目标：应用罗尔定理
由于 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，存在 ξ∈(0,1) 使得 F'(ξ)=0。
公式：F'(x)=a0 + a1 x + ... + an x^n
提示：罗尔定理的条件：闭区间连续，开区间可导，端点函数值相等。
步骤 3/3
目标：得出结论
由 F'(ξ)=0 得 a0 + a1 ξ + ... + an ξ^n = 0，即 ξ 是原方程的根，因此方程在 (0,1) 内至少有一个实根。
提示：注意题目问的是“在区间 (0,1) 内”，ξ 属于 (0,1)。
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