kaoyan1basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 【强化篇】第21题（选择题） 21．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $f(a)=f(b), f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，则下列结论正确的是（ ）。 （A）在 $(a, b)$ 内，$f^{\prime}(x) \neq 0$ （B）存在 $\varsigma_{1}, \hat{\varsigma}_{2} \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}\left(\hat{\varsigma}_{1}\right)=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ （C）存在唯一的 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$ （D）存在 $\xi \in[a, b]$ ，使 $f(\xi)=0$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由$f(a)=f(b)$及罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$。 步骤2：若存在两个不同的点$\xi_1,\xi_2\in(a,b)$使$f'=0$，则由罗尔定理，存在$\eta\in(\xi_1,\xi_2)$使$f''(\eta)=0$，与$f''(x)\neq0$矛盾，故唯一。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明存在一点导数为零
由于f(x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)=f(b)，根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=0。
公式：罗尔定理：若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)使f'(ξ)=0。
提示：注意条件：f(x)在闭区间连续，开区间可导，且端点函数值相等。
步骤 2/2
目标：证明唯一性
假设存在两个不同的点ξ1,ξ2∈(a,b)使得f'(ξ1)=f'(ξ2)=0，则对f'(x)在[ξ1,ξ2]上应用罗尔定理，存在η∈(ξ1,ξ2)使得f''(η)=0，与已知f''(x)≠0矛盾。因此，这样的ξ是唯一的。
公式：罗尔定理应用于导函数。
提示：反证法：假设不唯一，推出与二阶导数非零矛盾。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。