kaoyan1basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$(a, b)$ 内二阶可导，且 $f(a)=f(b)=0, f(c)<0, a
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：由$f(a)=f(c)=0$，存在$\xi_1\in(a,c)$使$f'(\xi_1)=0$；由$f(c)=f(b)=0$，存在$\xi_2\in(c,b)$使$f'(\xi_2)=0$。 步骤2：对$f'(x)$在$[\xi_1,\xi_2]$上用拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b)$使$\displaystyle f''(\xi)=\frac{f'(\xi_2)-f'(\xi_1)}{\xi_2-\xi_1}=0$，但需证$f''(\xi)>0$。由$f(c)<0$及$f(a)=f(b)=0$，$f(x)$在$(a,b)$内先减后增，故$f'(\xi_1)<0$，$f'(\xi_2)>0$，从而$f''(\xi)>0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用罗尔定理找到两个一阶导数为零的点
由f(a)=f(c)=0，存在ξ1∈(a,c)使f'(ξ1)=0；由f(c)=f(b)=0，存在ξ2∈(c,b)使f'(ξ2)=0。
公式：罗尔定理：若f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)使f'(ξ)=0。
提示：注意f(c)不一定等于0，但题目中f(a)=f(b)=0，且f(c)<0，所以f(c)与端点值不同，但罗尔定理只需端点值相等。
步骤 2/3
目标：对f'(x)应用拉格朗日中值定理得到二阶导数表达式
对f'(x)在[ξ1,ξ2]上用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)使f''(ξ)=[f'(ξ2)-f'(ξ1)]/(ξ2-ξ1)。
公式：拉格朗日中值定理：若f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，则存在ξ∈(a,b)使f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
提示：这里f'(x)在[ξ1,ξ2]上连续可导，因为f(x)二阶可导。
步骤 3/3
目标：判断f'(ξ1)和f'(ξ2)的符号，从而证明f''(ξ)>0
由f(c)<0及f(a)=f(b)=0，f(x)在(a,b)内先减后增，故f'(ξ1)<0，f'(ξ2)>0，从而f''(ξ)=[正数-负数]/正数>0。
公式：无
提示：利用函数值符号判断单调性：f(a)=0，f(c)<0，所以f在(a,c)内下降，故f'(ξ1)<0；同理f(c)<0，f(b)=0，所以f在(c,b)内上升，故f'(ξ2)>0。
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