kaoyan1basic 高等数学 第23题
📝 题目
### 【强化篇】第23题（解答题） 23．设 $f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)$ 存在且 $f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, x \in[0,+\infty)$ ． 证明：对于任意 $x \in[0,+\infty), f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：反证法。假设存在$x_0\in[0,+\infty)$使$f'(x_0)<0$。 步骤2：由$f''(x)\leqslant0$，$f'(x)$单调不增，故当$x>x_0$时$f'(x)\leqslant f'(x_0)<0$，从而$f(x)\leqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$，当$x\to+\infty$时$f(x)\to-\infty$，与$f(x)>0$矛盾。故$f'(x)\geqslant0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：假设存在点使得导数小于0
反证法。假设存在 $x_0 \in [0, +\infty)$ 使得 $f'(x_0) < 0$。
提示：反证法是处理存在性问题的常用方法。
步骤 2/4
目标：利用二阶导数非正得到导数单调不增
由 $f''(x) \leq 0$ 知 $f'(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调不增，因此当 $x > x_0$ 时，$f'(x) \leq f'(x_0) < 0$。
公式：f''(x) ≤ 0 ⇒ f'(x) 单调递减
提示：二阶导数非正意味着一阶导数单调递减。
步骤 3/4
目标：利用导数有界推出函数趋于负无穷
由拉格朗日中值定理，$f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x - x_0)$，其中 $\xi \in (x_0, x)$。由于 $f'(\xi) \leq f'(x_0) < 0$，故 $f(x) \leq f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$。当 $x \to +\infty$ 时，$f(x) \to -\infty$，与 $f(x) > 0$ 矛盾。
公式：f(x) ≤ f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)
提示：利用导数有界放缩函数值。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此假设不成立，故对于任意 $x \in [0, +\infty)$，有 $f'(x) \geq 0$。
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