kaoyan1basic 高等数学 第24题
📝 题目
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：考虑函数$\displaystyle f(x)=\frac{xe^x}{e^x-1}$，则$\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(e^x-1-xe^x)}{(e^x-1)^2}=\frac{e^x(e^x-1-xe^x)}{(e^x-1)^2}$。 步骤2：令$g(x)=e^x-1-xe^x$，$g'(x)=e^x-e^x-xe^x=-xe^x$，当$x>0$时$g'(x)<0$，$g(x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造函数并求导
考虑函数 f(x) = x e^x / (e^x - 1)，计算其导数 f'(x) = [e^x(e^x - 1 - x e^x)] / (e^x - 1)^2。
公式：f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1 - x e^x)}{(e^x - 1)^2}
提示：注意分母不为零，x≠0。
步骤 2/4
目标：分析导数的符号
令 g(x) = e^x - 1 - x e^x，则 g'(x) = -x e^x。当 x>0 时 g'(x)<0，g(x) 递减且 g(0)=0，故 g(x)<0；当 x<0 时 g'(x)>0，g(x) 递增且 g(0)=0，故 g(x)<0。因此 f'(x)<0 对所有 x≠0 成立，f(x) 在 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上分别单调递减。
公式：g'(x) = -x e^x
提示：利用 g(0)=0 和单调性判断 g(x) 的符号。
步骤 3/4
目标：利用单调性比较函数值
由 b>0>a 得 a<00，且 f(x) 在 (-∞,0) 递减，在 (0,+∞) 递减，但 f(a) 和 f(b) 的大小关系需通过其他方式。正确做法：考虑函数 h(x)=x e^x/(e^x-1) 在 x>0 和 x<0 时均递减，且当 x→0 时极限为1，故对于 a<01>f(b)？实际上需验证：当 x<0 时，e^x-1<0，x e^x<0，故 f(x)>0；当 x>0 时，f(x)>0。但单调性：在 x<0 时，f'(x)<0，故 f(x) 递减，所以当 a<0 时，f(a) > lim_{x→0-} f(x)=1；在 x>0 时，f(x) 递减，所以 f(b) < lim_{x→0+} f(x)=1。因此 f(a)>1>f(b)，即 f(a)>f(b)。
公式：f(a) > f(b)
提示：注意 x=0 处极限为1，利用单调性比较。
步骤 4/4
目标：转化为原不等式
由 f(a) > f(b) 得 a e^a/(e^a-1) > b e^b/(e^b-1)。由于 a<0，e^a-1<0；b>0，e^b-1>0，交叉相乘时注意不等号方向：两边乘以 (e^a-1)(e^b-1)（负正得负），不等号反向，得到 a e^a (e^b-1) < b e^b (e^a-1)。
公式：a e^a (e^b-1) < b e^b (e^a-1)
提示：注意分母符号，交叉相乘时不等号方向变化。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。