kaoyan1basic 高等数学 第25题

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📝 题目

### 【强化篇】第25题（解答题） 25．设 $\mathrm{e}

💡 答案解析

**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：要证$\displaystyle a^2e$，则$\displaystyle f'(x)=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}>0$，$f(x)$严格增，故$\displaystyle \frac{a}{\ln a}<\frac{b}{\ln b}$，即$\displaystyle ab\frac{\ln a}{\ln b}>a^2$。 步骤3：令$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{\ln x}$，$x>e$，则$\displaystyle g'(x)=\frac{2x\ln x-x}{(\ln x)^2}=\frac{x(2\ln x-1)}{(\ln x)^2}>0$，$g(x)$严格增，故$\displaystyle \frac{a^2}{\ln a}<\frac{b^2}{\ln b}$，即$\displaystyle ab\frac{\ln a}{\ln b}

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：将原不等式转化为两个函数单调性的比较
要证 a^2 < ab * (ln a / ln b) < b^2，由于 a, b > e > 0，两边同除以 ab 得 a/b < ln a / ln b < b/a，但更直接的方法是转化为证明 a/ln a < b/ln b 和 a^2/ln a < b^2/ln b。因为 ab * (ln a / ln b) > a^2 等价于 b/ln b > a/ln a，即 a/ln a < b/ln b；而 ab * (ln a / ln b) < b^2 等价于 a^2/ln a < b^2/ln b。
公式：a^2 < ab * (ln a / ln b) < b^2 ⇔ a/ln a < b/ln b 且 a^2/ln a < b^2/ln b
提示：注意不等式两边同除以正数时方向不变，但这里直接构造函数更简洁。
步骤 2/3
目标：证明第一个不等式 a/ln a < b/ln b
令 f(x) = x / ln x，x > e。求导得 f'(x) = (ln x - 1) / (ln x)^2。当 x > e 时，ln x > 1，所以 f'(x) > 0，f(x) 在 (e, +∞) 上严格递增。由 a < b 得 f(a) < f(b)，即 a/ln a < b/ln b，从而 ab * (ln a / ln b) > a^2。
公式：f(x) = x/ln x, f'(x) = (ln x - 1)/(ln x)^2 > 0 for x > e
提示：注意定义域 x > e 保证 ln x > 0，且导数符号由分子决定。
步骤 3/3
目标：证明第二个不等式 a^2/ln a < b^2/ln b
令 g(x) = x^2 / ln x，x > e。求导得 g'(x) = (2x ln x - x) / (ln x)^2 = x(2 ln x - 1) / (ln x)^2。当 x > e 时，ln x > 1，所以 2 ln x - 1 > 1 > 0，故 g'(x) > 0，g(x) 在 (e, +∞) 上严格递增。由 a < b 得 g(a) < g(b)，即 a^2/ln a < b^2/ln b，从而 ab * (ln a / ln b) < b^2。
公式：g(x) = x^2/ln x, g'(x) = x(2 ln x - 1)/(ln x)^2 > 0 for x > e
提示：注意 g'(x) 的分子提取公因式 x 后，只需判断 2 ln x - 1 的符号。

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