kaoyan1basic 高等数学 第26题
📝 题目
### 【强化篇】第26题（解答题） 26．设 $f^{\prime \prime}(x)<0$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，证明：$f(x) \leqslant x$ ．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$得$f(0)=0$，$f'(0)=1$。 步骤2：令$F(x)=f(x)-x$，则$F(0)=0$，$F'(x)=f'(x)-1$，$F''(x)=f''(x)<0$，故$F'(x)$严格减，$F'(0)=0$，当$x>0$时$F'(x)<0$，$F(x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：由极限条件推出f(0)和f'(0)的值
由 $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$ 且分母趋于0，得分子也趋于0，即 $f(0)=0$。再由导数定义，$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$。
公式：$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$
提示：注意极限存在且分母趋于0，分子必趋于0。
步骤 2/2
目标：构造函数F(x)=f(x)-x，分析其单调性
令 $F(x)=f(x)-x$，则 $F(0)=0$，$F'(x)=f'(x)-1$，$F''(x)=f''(x)<0$，故 $F'(x)$ 严格递减。由 $F'(0)=f'(0)-1=0$，得：当 $x>0$ 时 $F'(x)<0$，$F(x)$ 递减，$F(x)0$，$F(x)$ 递增，$F(x)
公式：$F''(x)=f''(x)<0$ 表明 $F'(x)$ 单调递减
提示：利用二阶导小于0判断一阶导单调性，再结合 $F'(0)=0$ 分区间讨论。
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