kaoyan1basic 高等数学 第27题
📝 题目
### 【强化篇】第27题（解答题） 27．设 $b \geqslant a>0$ ，求证： $\displaystyle \arctan \frac{b-a}{2} \geqslant \frac{\arctan b-\arctan a}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：令$f(x)=\arctan x$，则$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$，$\displaystyle f''(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\leqslant0$（$x\geqslant0$），故$f(x)$在$[0,+\infty)$上为凹函数。 步骤2：由凹函数性质，$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\geqslant f'\left(\frac{a+b}{2}\right)$，即$\displaystyle \frac{\arctan b-\arctan a}{b-a}\geqslant\frac{1}{1+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}$。 步骤3：又$\displaystyle \frac{1}{1+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}\leqslant\frac{1}{1+ab}$（由$a,b>0$），且$\displaystyle \arctan\frac{b-a}{2}\geqslant\frac{b-a}{2}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2}$，需证$\displaystyle \frac{b-a}{1+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}\geqslant\arctan\frac{b-a}{2}$，由$\arctan x\leqslant x$得证。 **难度**：★★★★☆