kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．一动点 $P$ 在曲线 $9 y=4 x^{2}$ 上运动，设坐标轴的单位长度是 1 cm ，若点 $P$ 横坐标的变化究是 $30 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，则当点 $P$ 经过点 $(3,4)$ 时，点 $P$ 到原点距离的变化率为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$30\sqrt{2}$ cm/s **解析**： 步骤1：曲线$9y=4x^2$，点$(3,4)$，原点距离$\displaystyle s=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+\frac{16}{81}x^4}$。 步骤2：$\displaystyle \frac{ds}{dt}=\frac{ds}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$，$\displaystyle \frac{ds}{dx}=\frac{x+\frac{32}{81}x^3}{\sqrt{x^2+\frac{16}{81}x^4}}$，代入$x=3$得$\displaystyle \frac{ds}{dx}=\frac{3+\frac{32}{81}\cdot27}{\sqrt{9+\frac{16}{81}\cdot81}}=\frac{3+32}{\sqrt{9+16}}=\frac{35}{5}=7$，又$\displaystyle \frac{dx}{dt}=30$，故$\displaystyle \frac{ds}{dt}=7\times30=210$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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