kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．质点 $P$ 沿抛物线 $x=y^{2}(y>0)$ 移动，$P$ 的横坐标 $x$ 的变化速度为 $5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ．当 $x=9$ 时，点 $P$到原点 $O$ 的距褕变化速度为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{5\sqrt{10}}{2}$ cm/s **解析**： 步骤1：$x=y^2$，$y>0$，$x=9$时$y=3$，原点距离$s=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+x}$。 步骤2：$\displaystyle \frac{ds}{dt}=\frac{ds}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$，$\displaystyle \frac{ds}{dx}=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}$，代入$x=9$得$\displaystyle \frac{ds}{dx}=\frac{18+1}{2\sqrt{81+9}}=\frac{19}{2\sqrt{90}}=\frac{19}{6\sqrt{10}}$，$\displaystyle \frac{dx}{dt}=5$，故$\displaystyle \frac{ds}{dt}=\frac{19}{6\sqrt{10}}\times5=\frac{95}{6\sqrt{10}}=\frac{19\sqrt{10}}{12}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立距离函数
由抛物线方程 x = y^2 (y>0) 得 y = sqrt(x)。点 P 到原点 O 的距离 s = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(x^2 + x)。
公式：s = sqrt(x^2 + x)
提示：注意 y>0 条件，开方取正。
步骤 2/3
目标：求距离变化率
距离变化率 ds/dt 可通过链式法则 ds/dt = (ds/dx) * (dx/dt) 求得。先求 ds/dx：ds/dx = (2x+1)/(2 sqrt(x^2+x))。
公式：ds/dt = (ds/dx) * (dx/dt)
提示：链式法则应用，注意 dx/dt 已知。
步骤 3/3
目标：代入已知条件
当 x=9 时，代入 ds/dx 得 ds/dx = (2*9+1)/(2 sqrt(81+9)) = 19/(2 sqrt(90)) = 19/(2*3 sqrt(10)) = 19/(6 sqrt(10))。已知 dx/dt = 5 cm/s，所以 ds/dt = (19/(6 sqrt(10))) * 5 = 95/(6 sqrt(10)) = (95 sqrt(10))/(60) = (19 sqrt(10))/12。
公式：ds/dt = (19/(6 sqrt(10))) * 5
提示：化简时注意有理化分母。
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