kaoyan3basic 概率论与数理统计 第1题
📝 题目
### 第1题 1．袋中有 5 个球（ 3 个新球， 2 个旧球），每次取 1 个，无放回地取 2 次，则第二次取到新球的概率是 （A）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{10}$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：设$A_i$表示第$i$次取到新球，由全概率公式$P(A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)+P(\bar{A_1})P(A_2|\bar{A_1})$。 步骤2：$\displaystyle P(A_1)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A_2|A_1)=\frac{2}{4}$；$\displaystyle P(\bar{A_1})=\frac{2}{5}$，$\displaystyle P(A_2|\bar{A_1})=\frac{3}{4}$。 步骤3：计算得$\displaystyle P(A_2)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}+\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{3}{5}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设事件并应用全概率公式
设A_i表示第i次取到新球，则第二次取到新球的概率P(A_2)可由全概率公式表示为：P(A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)+P(\bar{A_1})P(A_2|\bar{A_1})。
公式：P(A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)+P(\bar{A_1})P(A_2|\bar{A_1})
提示：注意区分第一次取到新球和旧球两种情况。
步骤 2/3
目标：计算各概率值
第一次取到新球的概率P(A_1)=3/5，第一次取到旧球的概率P(\bar{A_1})=2/5。在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率P(A_2|A_1)=2/4；在第一次取到旧球的条件下，第二次取到新球的概率P(A_2|\bar{A_1})=3/4。
公式：P(A_1)=3/5, P(\bar{A_1})=2/5, P(A_2|A_1)=2/4, P(A_2|\bar{A_1})=3/4
提示：注意无放回抽样，每次抽取后球数减少。
步骤 3/3
目标：代入公式计算最终概率
代入全概率公式：P(A_2)=(3/5)*(2/4)+(2/5)*(3/4)=3/10+3/10=3/5。
公式：P(A_2)=3/5
提示：计算时注意约分。
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