kaoyan3basic 概率论与数理统计 第10题
📝 题目
### 第10题 10．已知总体 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，其中未知参数 $\theta>0, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$为取自总体的一个样本，则 $\theta$ 的矩估计量为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\bar{X}$ **解析**：步骤1：计算总体均值$\displaystyle E(X)=\int_0^{+\infty}x\cdot\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}dx=\theta$。 步骤2：由矩估计法，令$\bar{X}=E(X)$，解得$\hat{\theta}=\bar{X}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算总体均值 E(X)
总体 X 服从参数为 θ 的指数分布，其概率密度为 f(x) = (1/θ)e^{-x/θ} (x>0)。计算 E(X) = ∫_0^+∞ x * (1/θ)e^{-x/θ} dx = θ。
公式：E(X) = ∫_0^+∞ x * (1/θ)e^{-x/θ} dx = θ
提示：指数分布的均值等于参数 θ，可直接使用此结论。
步骤 2/2
目标：利用矩估计法，令样本均值等于总体均值
矩估计法要求样本均值 X̄ 等于总体均值 E(X)。因此，令 X̄ = θ，解得 θ 的矩估计量为 θ̂ = X̄。
公式：X̄ = θ ⇒ θ̂ = X̄
提示：矩估计的核心是令样本矩等于总体矩。
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