kaoyan3basic 概率论与数理统计 第9题

教材习题

📝 题目

### 第9题 9．设离散型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律为 | $(X, Y)$ | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\displaystyle \frac{1}{6}$ | $\displaystyle \frac{1}{9}$ | $\displaystyle \frac{1}{18}$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\alpha$ | $\beta$ | 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $\alpha=$ $\_\_\_\_$ ，$\beta=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \alpha=\frac{2}{9}$，$\displaystyle \beta=\frac{1}{9}$ **解析**：步骤1：由联合分布律得$\displaystyle P(X=1)=\frac16+\frac19+\frac1{18}=\frac13$，$\displaystyle P(X=2)=\frac13+\alpha+\beta$。 步骤2：由独立性，$\displaystyle P(X=1,Y=1)=\frac16=P(X=1)P(Y=1)=\frac13\cdot P(Y=1)$，得$\displaystyle P(Y=1)=\frac12$。同理$\displaystyle P(Y=2)=\frac13$，$\displaystyle P(Y=3)=\frac16$。 步骤3：$\displaystyle P(X=2,Y=2)=\alpha=P(X=2)P(Y=2)=(\frac13+\alpha+\beta)\cdot\frac13$，且$\displaystyle P(X=2,Y=3)=\beta=(\frac13+\alpha+\beta)\cdot\frac16$，解得$\displaystyle \alpha=\frac29,\beta=\frac19$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：计算边缘概率 P(X=1) 和 P(X=2)
由联合分布律，P(X=1) = 1/6 + 1/9 + 1/18 = 1/3，P(X=2) = 1/3 + α + β。
公式：P(X=1) = 1/6 + 1/9 + 1/18 = 1/3
提示：注意分数相加时通分分母为18。
步骤 2/4
目标：利用独立性求边缘概率 P(Y=1), P(Y=2), P(Y=3)
由独立性，P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)，即1/6 = (1/3)P(Y=1)，得P(Y=1)=1/2。同理，P(X=1,Y=2)=1/9 = (1/3)P(Y=2)，得P(Y=2)=1/3；P(X=1,Y=3)=1/18 = (1/3)P(Y=3)，得P(Y=3)=1/6。
公式：P(Y=1) = P(X=1,Y=1)/P(X=1) = (1/6)/(1/3)=1/2
提示：利用联合分布中X=1的列计算Y的边缘概率。
步骤 3/4
目标：建立关于α和β的方程
由独立性，P(X=2,Y=2)=α = P(X=2)P(Y=2) = (1/3+α+β)*(1/3)；P(X=2,Y=3)=β = P(X=2)P(Y=3) = (1/3+α+β)*(1/6)。
公式：α = (1/3+α+β)/3，β = (1/3+α+β)/6
提示：注意P(X=2)包含α和β。
步骤 4/4
目标：解方程组得α和β
由两式相除得α/β = 2，即α=2β。代入第一个方程：2β = (1/3+2β+β)/3 = (1/3+3β)/3，解得β=1/9，则α=2/9。
公式：α=2β，代入得2β = (1/3+3β)/3 => 6β = 1/3+3β => 3β=1/3 => β=1/9，α=2/9
提示：也可将两式相加得到P(X=2)的方程。

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