kaoyan3basic 概率论与数理统计 第431题
📝 题目
### 第431题 431 一射手对同一目标独立地进行 4 次射击．若至少命中一次的概率为 $\displaystyle \frac{15}{16}$ ，则该射手对同一目标独立地进行 4 次射击中至少没命中一次的概率为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：设每次射击命中概率为$p$，则4次独立射击至少命中一次的概率为$\displaystyle 1-(1-p)^4=\frac{15}{16}$，解得$\displaystyle (1-p)^4=\frac{1}{16}$，即$\displaystyle 1-p=\frac{1}{2}$，$\displaystyle p=\frac{1}{2}$。步骤2：至少没命中一次的概率为$1-$（全部命中概率）$\displaystyle =1-p^4=1-\left(\frac{1}{2}\right)^4=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$。注意：题目问“至少没命中一次”即至少一次未命中，其对立事件为全部命中，概率为$\displaystyle p^4=\frac{1}{16}$，故答案为$\displaystyle 1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$。但原题答案写$\displaystyle \frac{1}{2}$，可能题目有误，按标准计算得$\displaystyle \frac{15}{16}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求每次射击命中概率 p
设每次射击命中概率为 p，则 4 次独立射击至少命中一次的概率为 1 - (1-p)^4 = 15/16，解得 (1-p)^4 = 1/16，即 1-p = 1/2，p = 1/2。
公式：1 - (1-p)^4 = 15/16
提示：注意对立事件：至少命中一次的对立事件是全部未命中。
步骤 2/2
目标：求至少没命中一次的概率
至少没命中一次的对立事件是全部命中，概率为 p^4 = (1/2)^4 = 1/16，因此至少没命中一次的概率为 1 - 1/16 = 15/16。
公式：1 - p^4 = 1 - (1/2)^4 = 15/16
提示：注意“至少没命中一次”即至少一次未命中，对立事件为全部命中。
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