kaoyan3basic 概率论与数理统计 第434题
📝 题目
### 第434题 434 袋中有 8 个球，其中 3 个白球 5 个黑球，现随意从中取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止．否则将 4 个球放回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2 个白球 2 个黑球为止．用 $X$ 表示抽取次数，则 $P\{X=k\}=$ $\_\_\_\_$ $(k=1,2, \cdots)$.
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \left(\frac{3}{7}\right)^{k-1}\cdot\frac{4}{7}$ **解析**：步骤1：一次抽取4个球，得到2白2黑的概率为$\displaystyle p=\frac{C_3^2C_5^2}{C_8^4}=\frac{3\times10}{70}=\frac{30}{70}=\frac{3}{7}$。步骤2：$X$服从几何分布，$\displaystyle P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p=\left(1-\frac{3}{7}\right)^{k-1}\cdot\frac{3}{7}=\left(\frac{4}{7}\right)^{k-1}\cdot\frac{3}{7}$。注意：原题答案写$\displaystyle \left(\frac{3}{7}\right)^{k-1}\cdot\frac{4}{7}$，可能将成功概率与失败概率混淆，正确应为$\displaystyle \left(\frac{4}{7}\right)^{k-1}\cdot\frac{3}{7}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算一次抽取4个球得到2白2黑的概率p
从8个球中任取4个，总共有C(8,4)=70种等可能取法。事件“2白2黑”的取法数为C(3,2)*C(5,2)=3*10=30。因此概率p=30/70=3/7。
公式：p = C(3,2)C(5,2)/C(8,4) = 3/7
提示：注意组合数的计算，C(8,4)=70，C(3,2)=3，C(5,2)=10。
步骤 2/3
目标：确定随机变量X的分布类型
每次抽取独立，直到首次成功（出现2白2黑）停止，X服从几何分布，即P(X=k)=(1-p)^(k-1)*p，k=1,2,...
公式：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p
提示：几何分布描述首次成功所需的试验次数。
步骤 3/3
目标：代入p值得到最终概率表达式
将p=3/7代入，得P(X=k)=(1-3/7)^(k-1)*(3/7)=(4/7)^(k-1)*(3/7)。
公式：P(X=k) = (4/7)^(k-1) * (3/7)
提示：注意原题答案可能有误，正确应为(4/7)^(k-1)*(3/7)。
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