kaoyan3basic 概率论与数理统计 第435题
📝 题目
### 第435题 435 假设 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，对 $X$ 作 3 次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 $\displaystyle \frac{7}{8}$ ，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}\ln2$ **解析**：步骤1：$X$服从参数$\lambda$的指数分布，$P\{X>2\}=e^{-2\lambda}$。步骤2：3次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为$\displaystyle 1-(1-e^{-2\lambda})^3=\frac{7}{8}$，即$\displaystyle (1-e^{-2\lambda})^3=\frac{1}{8}$，得$\displaystyle 1-e^{-2\lambda}=\frac{1}{2}$，$\displaystyle e^{-2\lambda}=\frac{1}{2}$。步骤3：解得$\displaystyle -2\lambda=\ln\frac{1}{2}=-\ln2$，$\displaystyle \lambda=\frac{1}{2}\ln2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算单次观测值大于2的概率
X服从参数λ的指数分布，其分布函数为F(x)=1-e^{-λx}，x≥0。因此P{X>2}=1-F(2)=e^{-2λ}。
公式：P{X>2}=e^{-2λ}
提示：指数分布的概率计算要熟记分布函数形式。
步骤 2/3
目标：建立三次独立重复观测至少一次大于2的概率方程
三次独立重复观测，每次观测值大于2的概率为p=e^{-2λ}，则至少一次大于2的概率为1-(1-p)^3。已知该概率为7/8，故1-(1-e^{-2λ})^3=7/8。
公式：1-(1-e^{-2λ})^3=7/8
提示：独立重复试验中，至少一次的概率常用对立事件求解。
步骤 3/3
目标：解方程求λ
由1-(1-e^{-2λ})^3=7/8得(1-e^{-2λ})^3=1/8，所以1-e^{-2λ}=1/2，e^{-2λ}=1/2。两边取自然对数得-2λ=ln(1/2)=-ln2，因此λ=(1/2)ln2。
公式：e^{-2λ}=1/2 ⇒ λ=(1/2)ln2
提示：注意对数运算性质：ln(1/2)=-ln2。
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