kaoyan3basic 概率论与数理统计 第450题
📝 题目
### 第450题 450 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，则 $P\{\max (X, Y)>\mu\}-P\{\min (X, Y)<\mu\}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：由对称性，$\displaystyle P\{\max(X,Y) > \mu\} = P\{\min(X,Y) < \mu\} = \frac{3}{4}$。 步骤2：$\displaystyle P\{\max(X,Y) > \mu\} - P\{\min(X,Y) < \mu\} = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算P{max(X,Y)>μ}
由于X与Y独立同分布，且均服从N(μ,σ²)，由对称性，P{X>μ}=P{Y>μ}=1/2。事件{max(X,Y)>μ}等价于{X>μ}∪{Y>μ}，故P{max(X,Y)>μ}=P{X>μ}+P{Y>μ}-P{X>μ,Y>μ}=1/2+1/2-1/4=3/4。
公式：P{max(X,Y)>μ}=P{X>μ}+P{Y>μ}-P{X>μ,Y>μ}
提示：利用独立性和对称性简化计算。
步骤 2/3
目标：计算P{min(X,Y)<μ}
事件{min(X,Y)<μ}等价于{X<μ}∪{Y<μ}，同理P{min(X,Y)<μ}=P{X<μ}+P{Y<μ}-P{X<μ,Y<μ}=1/2+1/2-1/4=3/4。
公式：P{min(X,Y)<μ}=P{X<μ}+P{Y<μ}-P{X<μ,Y<μ}
提示：注意min的补集是max，但直接计算更简单。
步骤 3/3
目标：计算差值
P{max(X,Y)>μ}-P{min(X,Y)<μ}=3/4-3/4=0。
提示：两者相等，差值为0。
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