kaoyan3basic 概率论与数理统计 第451题
📝 题目
### 第451题 451 设相互独立的两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从标准正态分布，则随机变量 $X-Y$ 的概率密度函数的最大值等于 $\_\_\_\_$。 设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; 0\right)$ ，其分布函数为 $F(x, y)$ ，已知 $\displaystyle F\left(\mu_{1}, y\right)=\frac{1}{4}$ ，则 $y=$ $\_\_\_\_$。 □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$ **解析**： 步骤1：$X,Y \sim N(0,1)$独立，则$X-Y \sim N(0,2)$，概率密度函数$\displaystyle f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}} e^{-\frac{z^2}{4}}$。 步骤2：最大值在$z=0$处，$\displaystyle f(0) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定X-Y的分布
由于X和Y相互独立且均服从标准正态分布N(0,1)，则X-Y服从正态分布，均值为0，方差为Var(X)+Var(Y)=1+1=2，即X-Y ~ N(0,2)。
公式：X-Y ~ N(0,2)
提示：独立正态变量的线性组合仍为正态分布，方差相加。
步骤 2/3
目标：写出概率密度函数
正态分布N(0,2)的概率密度函数为f(z)=1/(√(2π)*√2) * e^{-z^2/(2*2)} = 1/(2√π) * e^{-z^2/4}。
公式：f(z)=1/(2√π) e^{-z^2/4}
提示：标准正态密度为1/√(2π) e^{-z^2/2}，方差为2时标准差为√2。
步骤 3/3
目标：求最大值
概率密度函数在均值处取最大值，均值为0，代入得f(0)=1/(2√π)。
公式：f(0)=1/(2√π)
提示：正态分布密度函数在均值处最大。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。