kaoyan3basic 概率论与数理统计 第453题
📝 题目
### 第453题 453 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $\Phi(2 x+1) \Phi(2 y-1)$ ，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N($ $\_\_\_\_$ ）． □ 纠销笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle N\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}; \frac{1}{2}, \frac{1}{4}; 0\right)$ **解析**： 步骤1：分布函数$\Phi(2x+1)\Phi(2y-1)$，由正态分布性质，$X$的分布函数为$\Phi(2x+1)$，即$2X+1 \sim N(0,1)$，故$\displaystyle X \sim N(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$。 步骤2：同理，$2Y-1 \sim N(0,1)$，故$\displaystyle Y \sim N(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$。 步骤3：乘积形式表明独立，相关系数$\rho=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定X的分布
由分布函数Φ(2x+1)Φ(2y-1)可知，X的边际分布函数为Φ(2x+1)。由于Φ是标准正态分布函数，因此2X+1服从标准正态分布N(0,1)。由此可得X的期望和方差：E[2X+1]=0 => E[X]=-1/2；Var(2X+1)=4Var(X)=1 => Var(X)=1/4。所以X~N(-1/2, 1/4)。
公式：2X+1 ~ N(0,1) ⇒ X ~ N(-1/2, 1/4)
提示：注意线性变换的期望和方差公式。
步骤 2/3
目标：确定Y的分布
同理，Y的边际分布函数为Φ(2y-1)，因此2Y-1服从标准正态分布N(0,1)。计算期望和方差：E[2Y-1]=0 => E[Y]=1/2；Var(2Y-1)=4Var(Y)=1 => Var(Y)=1/4。所以Y~N(1/2, 1/4)。
公式：2Y-1 ~ N(0,1) ⇒ Y ~ N(1/2, 1/4)
提示：注意符号：2Y-1的期望为0。
步骤 3/3
目标：判断独立性并求相关系数
联合分布函数为两个边际分布函数的乘积，因此X与Y相互独立。独立时相关系数ρ=0。
公式：F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) ⇒ X与Y独立 ⇒ ρ=0
提示：独立是相关系数为0的充分条件。
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