kaoyan3basic 概率论与数理统计 第454题
📝 题目
### 第454题 454 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从标准正态分布，其分布函数为 $\Phi(x), Y$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{Y=-1\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2}$ ，则随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数 $F(x)=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}\Phi(x) + \frac{1}{2}(1-\Phi(-x))$ **解析**： 步骤1：$Z = XY$，$Y$独立于$X$，$\displaystyle P\{Y=1\}=P\{Y=-1\}=\frac{1}{2}$。 步骤2：$\displaystyle F(x) = P\{Z \leq x\} = \frac{1}{2}P\{X \leq x\} + \frac{1}{2}P\{-X \leq x\} = \frac{1}{2}\Phi(x) + \frac{1}{2}P\{X \geq -x\} = \frac{1}{2}\Phi(x) + \frac{1}{2}(1-\Phi(-x))$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确随机变量Z的定义和已知条件
已知X服从标准正态分布，分布函数为Φ(x)；Y独立于X，且P{Y=1}=P{Y=-1}=1/2。定义Z=XY。
提示：注意独立性是条件概率分解的关键。
步骤 2/4
目标：利用全概率公式展开分布函数
F(x)=P{Z≤x}=P{XY≤x}=P{Y=1}P{X≤x|Y=1}+P{Y=-1}P{-X≤x|Y=-1}。由于X与Y独立，条件概率等于无条件概率，故F(x)=1/2 P{X≤x} + 1/2 P{-X≤x}。
公式：P{Z≤x}=∑_y P{Y=y}P{XY≤x|Y=y}
提示：全概率公式是处理混合型随机变量分布函数的常用方法。
步骤 3/4
目标：化简P{-X≤x}
P{-X≤x}=P{X≥-x}=1-P{X<-x}=1-Φ(-x)。由于X是连续型随机变量，P{X<-x}=Φ(-x)。
公式：P{-X≤x}=1-Φ(-x)
提示：注意标准正态分布的对称性：Φ(-x)=1-Φ(x)，但这里保留原形式。
步骤 4/4
目标：写出最终表达式
代入得F(x)=1/2 Φ(x) + 1/2 (1-Φ(-x))。
公式：F(x)=1/2 Φ(x) + 1/2 (1-Φ(-x))
提示：结果可进一步化简为Φ(x)（利用对称性），但原答案形式已足够。
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