kaoyan3basic 概率论与数理统计 第455题
📝 题目
### 第455题 455 设随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x, & a
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：由概率密度归一性，$\displaystyle \int_a^b x dx = \frac{b^2-a^2}{2}=1$，得$b^2-a^2=2$。 步骤2：$\displaystyle EX^2 = \int_a^b x^3 dx = \frac{b^4-a^4}{4}=2$，得$b^4-a^4=8$。 步骤3：联立解得$a=1, b=\sqrt{3}$（因$a>0$）。 步骤4：$\displaystyle P\{|X|<\sqrt{2}\} = P\{1
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用概率密度归一性建立方程
由概率密度函数归一性，∫_a^b x dx = (b^2 - a^2)/2 = 1，得 b^2 - a^2 = 2。
公式：∫_a^b x dx = (b^2 - a^2)/2 = 1
提示：注意积分区间为 (a, b)，且 a > 0。
步骤 2/4
目标：利用已知期望 EX^2 = 2 建立方程
EX^2 = ∫_a^b x^3 dx = (b^4 - a^4)/4 = 2，得 b^4 - a^4 = 8。
公式：∫_a^b x^3 dx = (b^4 - a^4)/4 = 2
提示：计算幂函数积分时注意指数加1。
步骤 3/4
目标：联立方程求解 a 和 b
由 b^2 - a^2 = 2 和 b^4 - a^4 = (b^2 - a^2)(b^2 + a^2) = 2(b^2 + a^2) = 8，得 b^2 + a^2 = 4。再联立 b^2 - a^2 = 2，解得 a^2 = 1，b^2 = 3。因 a > 0，故 a = 1，b = √3。
公式：b^2 - a^2 = 2, b^2 + a^2 = 4
提示：利用平方差公式简化计算。
步骤 4/4
目标：计算概率 P{|X| < √2}
由于 X 只在 (1, √3) 上非零，且 √2 ≈ 1.414，故 P{|X| < √2} = P{1 < X < √2} = ∫_1^{√2} x dx = ( (√2)^2 - 1^2 )/2 = (2 - 1)/2 = 1/2。
公式：∫_1^{√2} x dx = (2 - 1)/2 = 1/2
提示：注意 X 的取值范围，绝对值条件转化为区间。
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