kaoyan3basic 概率论与数理统计 第456题
📝 题目
### 第456题 456 已知随机变量 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 相互独立且分别服从参数为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的泊松分布，已知 $P\left\{X_{1}+X_{2}>0\right\}=1-\mathrm{e}^{-1}$ ，则 $E\left(X_{1}+X_{2}\right)^{2}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：$X_1+X_2 \sim P(\lambda_1+\lambda_2)$，$P\{X_1+X_2>0\} = 1 - e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} = 1-e^{-1}$，得$\lambda_1+\lambda_2=1$。 步骤2：$E(X_1+X_2)^2 = D(X_1+X_2) + [E(X_1+X_2)]^2 = (\lambda_1+\lambda_2) + (\lambda_1+\lambda_2)^2 = 1+1=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定参数和
由于X1和X2独立且服从泊松分布，其和X1+X2服从参数为λ1+λ2的泊松分布。已知P{X1+X2>0}=1-e^{-(λ1+λ2)}=1-e^{-1}，因此λ1+λ2=1。
公式：P{X1+X2>0}=1-e^{-(λ1+λ2)}
提示：泊松分布的可加性：独立泊松变量之和仍为泊松分布，参数为各参数之和。
步骤 2/2
目标：计算二阶矩
利用方差公式E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2。对于泊松分布，期望和方差均等于参数。因此E(X1+X2)=λ1+λ2=1，D(X1+X2)=λ1+λ2=1，故E[(X1+X2)^2]=1+1^2=2。
公式：E[(X1+X2)^2]=D(X1+X2)+[E(X1+X2)]^2
提示：泊松分布的期望和方差相等。
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