kaoyan3basic 概率论与数理统计 第457题
📝 题目
### 第457题 457 已知随机变量 $X_{1}, X_{2}$ 相互独立，且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right),(\sigma>0)$ ，则 $D\left(X_{1} X_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2\sigma^4$ **解析**： 步骤1：$X_1, X_2 \sim N(\mu, \sigma^2)$独立，$E(X_1X_2) = \mu^2$，$E(X_1^2X_2^2) = E(X_1^2)E(X_2^2) = (\sigma^2+\mu^2)^2$。 步骤2：$D(X_1X_2) = E(X_1^2X_2^2) - [E(X_1X_2)]^2 = (\sigma^2+\mu^2)^2 - \mu^4 = \sigma^4 + 2\mu^2\sigma^2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算期望 E(X1X2)
由于 X1 和 X2 独立且均服从 N(μ, σ²)，有 E(X1X2) = E(X1)E(X2) = μ·μ = μ²。
公式：E(XY) = E(X)E(Y) 对于独立变量
提示：独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积。
步骤 2/3
目标：计算期望 E(X1²X2²)
由独立性，E(X1²X2²) = E(X1²)E(X2²)。对于正态分布 N(μ, σ²)，E(X²) = Var(X) + [E(X)]² = σ² + μ²。因此 E(X1²X2²) = (σ²+μ²)²。
公式：E(X²) = Var(X) + [E(X)]²
提示：利用方差公式计算二阶矩。
步骤 3/3
目标：计算方差 D(X1X2)
方差公式：D(X1X2) = E(X1²X2²) - [E(X1X2)]² = (σ²+μ²)² - μ⁴ = σ⁴ + 2μ²σ²。
公式：D(X) = E(X²) - [E(X)]²
提示：注意展开平方项并化简。
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