kaoyan3basic 概率论与数理统计 第458题
📝 题目
### 第458题 458 设随机变量 $X$ 的分布律为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k} k!(\sqrt{\mathrm{e}}-1)}, k=1,2, \cdots$ ，则 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}-1}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle P\{X=k\} = \frac{1}{2^k k!(\sqrt{e}-1)}$，$k=1,2,\cdots$。 步骤2：$\displaystyle E(X) = \sum_{k=1}^\infty k \cdot \frac{1}{2^k k!(\sqrt{e}-1)} = \frac{1}{\sqrt{e}-1} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k (k-1)!} = \frac{1}{\sqrt{e}-1} \cdot e^{1/2} = \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}-1}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出期望的定义式
根据离散型随机变量数学期望的定义，E(X) = Σ_{k=1}^∞ k * P{X=k}。代入分布律得 E(X) = Σ_{k=1}^∞ k * [1/(2^k k! (√e - 1))] = 1/(√e - 1) * Σ_{k=1}^∞ k/(2^k k!)。
公式：E(X) = Σ_{k=1}^∞ k * P{X=k}
提示：注意求和从k=1开始，因为k=0不在分布律中。
步骤 2/4
目标：化简求和项
化简k/(k!) = 1/((k-1)!)，因此 Σ_{k=1}^∞ k/(2^k k!) = Σ_{k=1}^∞ 1/(2^k (k-1)!) = Σ_{n=0}^∞ 1/(2^{n+1} n!) = (1/2) Σ_{n=0}^∞ (1/2)^n / n!。
公式：k/(k!) = 1/((k-1)!)
提示：令n=k-1，则k=1对应n=0。
步骤 3/4
目标：利用指数级数求和
指数函数的泰勒展开：e^x = Σ_{n=0}^∞ x^n/n!。令x=1/2，则 Σ_{n=0}^∞ (1/2)^n/n! = e^{1/2} = √e。因此 Σ_{k=1}^∞ k/(2^k k!) = (1/2) * √e = √e/2。
公式：e^x = Σ_{n=0}^∞ x^n/n!
提示：注意指数级数从n=0开始。
步骤 4/4
目标：计算期望
将求和结果代入期望表达式：E(X) = 1/(√e - 1) * (√e/2) = √e/(2(√e - 1))。但答案中分母为√e-1，分子为1，检查发现原解析有误：正确应为E(X)=1/(√e-1)。重新计算：Σ_{k=1}^∞ 1/(2^k (k-1)!) = e^{1/2} = √e，所以E(X)=√e/(√e-1)。但答案给出1/(√e-1)，矛盾。实际上，原题分布律中分母有2^k，但期望计算时k约去后得到Σ 1/(2^k (k-1)!) = e^{1/2}，而常数因子1/(√e-1)不变，故E(X)=√e/(√e-1)。但答案写为1/(√e-1)，可能是印刷错误。按照解析步骤，最终结果应为√e/(√e-1)。
公式：E(X) = 1/(√e-1) * √e = √e/(√e-1)
提示：注意检查级数求和是否正确，避免计算错误。
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