kaoyan3basic 概率论与数理统计 第459题
📝 题目
### 第459题 459 相互独立的随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 具有相同的方差 $\sigma^{2}>0$ ，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则 $D\left(X_{i}-\bar{X}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，且 $D(X+Y)=1$ ，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho=$ $\_\_\_\_$。 □ 461设随机变量 $X$ 服从分布 $E(1)$ ，记 $Y=\min \{|X|, 1\}$ ，则 $Y$ 的数学期望 $E(Y)=$ $\_\_\_\_$。 □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{n-1}{n}\sigma^2$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle D(X_i - \bar{X}) = D\left(\frac{n-1}{n}X_i - \frac{1}{n}\sum_{j\neq i} X_j\right)$。 步骤2：由独立性，$\displaystyle D(X_i - \bar{X}) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2\sigma^2 + \frac{n-1}{n^2}\sigma^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将 X_i - \bar{X} 表示为独立随机变量的线性组合
由于 \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j，则 X_i - \bar{X} = X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j = \frac{n-1}{n}X_i - \frac{1}{n}\sum_{j\neq i} X_j。
公式：X_i - \bar{X} = \frac{n-1}{n}X_i - \frac{1}{n}\sum_{j\neq i} X_j
提示：注意将求和拆分为包含 X_i 和不包含 X_i 的两部分。
步骤 2/3
目标：利用方差性质计算 D(X_i - \bar{X})
由于 X_1,...,X_n 相互独立且方差均为 σ^2，则 D(\frac{n-1}{n}X_i) = (\frac{n-1}{n})^2 σ^2，D(\frac{1}{n}\sum_{j\neq i} X_j) = \frac{1}{n^2} \cdot (n-1)σ^2 = \frac{n-1}{n^2}σ^2。又因为两部分独立，所以方差相加：D(X_i - \bar{X}) = (\frac{n-1}{n})^2 σ^2 + \frac{n-1}{n^2}σ^2。
公式：D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y) 若 X,Y 独立
提示：注意系数平方后乘以方差，独立时协方差为零。
步骤 3/3
目标：化简得到最终结果
计算 (\frac{n-1}{n})^2 σ^2 + \frac{n-1}{n^2}σ^2 = \frac{(n-1)^2}{n^2}σ^2 + \frac{n-1}{n^2}σ^2 = \frac{(n-1)^2 + (n-1)}{n^2}σ^2 = \frac{(n-1)(n-1+1)}{n^2}σ^2 = \frac{(n-1)n}{n^2}σ^2 = \frac{n-1}{n}σ^2。
公式：\frac{n-1}{n}σ^2
提示：合并同类项时注意提取公因子。
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