kaoyan3basic 概率论与数理统计 第462题
📝 题目
### 第462题 462 设连续型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}a-\mathrm{e}^{-b x}, & x>0 \\ c, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ．已知 $E(X)=1$ ，则 $D(X)=$ $\_\_\_\_$ ． 463相互独立的随机变量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 均服从正态分布 $\displaystyle N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $D\left(\left|X_{1}-X_{2}\right|\right)=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：由分布函数连续性，$F(0)=c = a-1$，且$F(+\infty)=a=1$，得$a=1, c=0$。 步骤2：$f(x) = F'(x) = be^{-bx}, x>0$，$\displaystyle E(X)=\int_0^\infty xbe^{-bx}dx = \frac{1}{b}=1$，得$b=1$。 步骤3：$\displaystyle D(X) = \frac{1}{b^2}=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定分布函数中的参数 a 和 c
由分布函数性质：F(0) = c = a - e^0 = a - 1；F(+∞) = a = 1，解得 a=1，c=0。
公式：F(+∞)=1，F(x)右连续
提示：注意分布函数在 x=0 处的连续性
步骤 2/3
目标：求概率密度函数 f(x) 并确定参数 b
对 x>0，f(x)=F'(x)=be^{-bx}；利用 E(X)=∫_0^∞ x be^{-bx} dx = 1/b =1，得 b=1。
公式：E(X)=∫ x f(x) dx，指数分布期望为 1/λ
提示：指数分布 E(X)=1/λ，D(X)=1/λ²
步骤 3/3
目标：计算方差 D(X)
由 b=1，指数分布方差 D(X)=1/b²=1。
公式：D(X)=1/b²
提示：直接使用指数分布方差公式
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