kaoyan3basic 概率论与数理统计 第464题
📝 题目
### 第464题 464 已知二维随机变量 $(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right)\left(\sigma_{1}>0, \sigma_{2}>0\right)$ ，则二维随机变量 $\displaystyle \left(\frac{X-\mu_{1}}{\sigma_{1}}, Y\right) \sim$ $\_\_\_\_$ ． 设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，且已知 $E[(X-1)(X-2)]=1$ ，则 $\lambda=$$\_\_\_\_$。 □ 466 设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>1)$ 独立同分布，且方差为 $\sigma^{2}>0$ ，记 $Y_{1}=\sum_{i=2}^{n} X_{i}$ 和 $Y_{n}=\sum_{j=1}^{n-1} X_{j}$ ，则 $Y_{1}$ 和 $Y_{n}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$N(0,1; \mu_2, \sigma_2^2; \rho)$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle U = \frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$，则$U \sim N(0,1)$。 步骤2：$(U, Y)$为线性变换，仍服从二维正态分布，$E(U)=0$，$D(U)=1$，$E(Y)=\mu_2$，$D(Y)=\sigma_2^2$，$\displaystyle \text{Cov}(U,Y) = \frac{1}{\sigma_1}\text{Cov}(X,Y) = \rho\sigma_2$，故相关系数为$\rho$。 **难度**：★★★☆☆