kaoyan3basic 概率论与数理统计 第467题
📝 题目
### 第467题 467 设随机变量 $X$ 在 $[-1, b]$ 上服从均匀分布，其中 $b$ 是未知常数，根据切比雪夫不等式有 $\displaystyle P\{|X-1| \geqslant \varepsilon\} \leqslant \frac{1}{3}$ ，则 $\varepsilon=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$3$ **解析**： 步骤1：由$X$在$[-1,b]$上均匀分布，得$\displaystyle E(X)=\frac{b-1}{2}$，$\displaystyle D(X)=\frac{(b+1)^2}{12}$。 步骤2：切比雪夫不等式$\displaystyle P\{|X-1|\geq\varepsilon\}\leq\frac{D(X)}{\varepsilon^2}$，代入$\displaystyle D(X)=\frac{(b+1)^2}{12}$，令$\displaystyle \frac{(b+1)^2}{12\varepsilon^2}=\frac{1}{3}$，得$\displaystyle \varepsilon^2=\frac{(b+1)^2}{4}$。 步骤3：由$E(X)=1$得$\displaystyle \frac{b-1}{2}=1$，解得$b=3$，代入得$\varepsilon=3$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定随机变量X的分布参数
由X在[-1,b]上服从均匀分布，得期望E(X)=(b-1)/2，方差D(X)=(b+1)^2/12。
公式：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12
提示：均匀分布的期望和方差公式需牢记。
步骤 2/3
目标：应用切比雪夫不等式建立方程
切比雪夫不等式：P{|X-1|≥ε} ≤ D(X)/ε^2。由题设P{|X-1|≥ε} ≤ 1/3，令D(X)/ε^2 = 1/3，代入D(X)得(b+1)^2/(12ε^2)=1/3，化简得ε^2=(b+1)^2/4。
公式：P{|X-μ|≥ε} ≤ σ^2/ε^2
提示：注意不等式方向，且等号在取最大值时成立。
步骤 3/3
目标：利用期望条件求解b和ε
由题设隐含条件E(X)=1（因为不等式中心为1），即(b-1)/2=1，解得b=3。代入ε^2=(b+1)^2/4得ε^2=4，故ε=3（ε>0）。
公式：E(X)=1 ⇒ (b-1)/2=1
提示：注意ε为正数，舍去负根。
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